sohyunkim 님의 블로그

이전 포스팅에서는 포커-플랑크 방정식(FPE)의 복잡한 해를 효율적으로 구하기 위해, '딱 한 점'에서 출발하는 기본 해인 '전이 커널(Transition Kernel)'의 개념을 설명했다.또한, 선형 중첩의 원리를 적용하면 임의의 초기 분포가 미래에 어떻게 퍼져나가는지를 단 하나의 적분식(베이즈 예측 과정)으로 표현할 수 있음을 확인했다. 하지만, 연속 시간 상태 추정(Kalman-Bucy Filter 등) 알고리즘에 이를 실제로 사용하려면, 커널의 닫힌 해를 수학적으로 찾아내야만 한다. 따라서 이번 포스팅에서는 공간(x)과 시간(t)에 대한 다중 미분이 섞인 편미분 방정식을 풀어 전이 커널의 해를 찾을 것이다. (네이버 포스팅 환경에서 추정 상태 hat을 작성할 수 없다. hat{p} 참고바란다.)..

지난 포스팅에서는 개별 입자의 미시적 무작위 움직임(SDE)이 어떻게 거시적인 확률 분포의 흐름을 지배하는 편미분 방정식, 즉 포커-플랑크 방정식(FPE, Fokker-Planck Equation)으로 연결되는지 이토 미적분학을 통해 유도하였다. FPE의 본질은 확률 분포를 시간에 따라 진화시키는 규칙 그 자체이다. 해당 규칙에 현재 상태 확률 분포를 초기 조건으로 넣으면, 엄밀한 FPE의 편미분 방정식에 따라 미래 시점 t에서의 예측 분포를 얻을 수 있다. 하지만, 초기 분포로 사용되는 분포는 매번 다양한 형태로 주어진다. 그때 마라 편미분 방정식을 푸는 것은 비효율적이다. 이를 해결하기 위해 전이 커널과 선형 중첩의 원리를 사용한다. 포커-플랑크 방정식과 일반 해의 한계 시스템의 동역학을 반영하여, ..

일반적인 상태 추정 알고리즘에서는 주로 Discrete-time 기반의 칼만 필터를 적용하여, 이전 상태의 불확실성에 노이즈 공분산을 단순히 더해주는 방식(P_k+1=FP_kF^T+Q)으로 예측 단계를 수행한다. 그러나 실제 물리 세계의 시스템은 연속적인 시간 흐름 속에서 동역학적 변화를 겪는다. 따라서 시스템의 상태 확률 분포가 구체적으로 어떤 물리 법칙에 의해 확산되고 진화하는지 그 원리를 수학적으로 확인할 필요가 있다. 이 연속 시간 칼만 필터(Kalman-Bucy Filter)의 Prediction 단계를 지배하는 핵심 수학적 모델이 바로 포커-플랑크 방정식(Fokker-Planck Equation, FPE)이다. 이번 포스팅에서는 개별 입자의 미시적 확률 움직임을 나타내는 확률 미분 방정식(S..